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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 17

Escreva as funções na forma y = f ( u ) e u = g ( x ) . Em seguida, determine d y / d x em função de x .

y = s e n 3 ( x )

Passo 1

Agora sim os exercícios começam a ficar mais interessantes! Precisamos pegar a nossa h ( x ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( x ) tais que:

h x = f ∘ g x = f g x

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d x , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d x = h ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( x ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( x ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( x ) . Para isto, vamos reescrever a nossa função:

y = s e n 3 x = s e n x ⋅ s e n x ⋅ s e n x = s e n x 3

O termo “mais interno” é s e n x . Se fizermos u = g x = s e n x e substituirmos na função acima, obtemos:

y = u 3

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = u 3

g x = s e n x

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y / d x . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = u 3 '

y ' = 3 u 2

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' x = s e n x '

g ' x = c o s ⁡ ( x )

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( x ) , isto é, obter f ' g x . Para isto, basta substituir g x = s e n ( x ) em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g x = f ' s e n ( x ) = 3 s e n x 2

f ' g x = 3 s e n x 2

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g x por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y / d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d x = 3 s e n x 2 ⋅ cos ⁡ x

Resposta

d y d x = 3 s e n x 2 ⋅ cos ⁡ x

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