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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 8

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

h u = ln ⁡ u u ,                         1,5

Passo 1

Pessoal, nesta seção nos é dado o conceito de valor médio da função em um intervalo [a,b]. Ele é o seguinte:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Então, para resolver o exercício devemos substituir o valor da função e seu intervalo na equação dada:

h m e d = 1 5 - 1 ∫ 1 5 ln ⁡ u u d u

h m e d = 1 4 ∫ 1 5 ln ⁡ u u d u

Primeiramente, vamos fazer uma substituição de variável (de modo muito estratégico rsrs). Seja:

x = ln ⁡ u  

d x = 1 u d u

Aplicando na integral (Vamos esquecer o intervalo por agora):

h m e d = 1 4 ∫ x d x

Aplicando a regra da potência: ∫ x a d x = ( x a + 1 ) / ( a + 1 )

h m e d = 1 4 u 2 + 1 1 + 1

h m e d = 1 4 u 2 2

Substituindo o valor de x ( x = ln ⁡ u   ) e aplicando o intervalo [1,5]:

h m e d = 1 8 ( ln ⁡ u ) 2   5 1

h m e d = 1 8 ln 2 ⁡ 5 - ln 2 ⁡ 1 = ln 2 ⁡ 5 8

h m e d = ln 2 ⁡ 5 8

Resposta

h m e d = ln 2 ⁡ 5 8

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