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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 17

Em uma certa cidade a temperatura (em ºC) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função

T t = 20 + 6 . s e n   π t 12

Calcule a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h.

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é? Durante o período entre 9h e 21h, totalizando 12 horas, então vamos integrar a função de 0 até 12, tudo bem?

Só vamos substituir:

T m e d = 1 12 - 0 ∫ 0 12 20 + 6 . s e n   π t 12 . d t

Vamos separar os termos para integrar separadamente:

T m e d = 1 12 ∫ 0 12 20 . d t + ∫ 0 12 6 . s e n   π t 12 . d t

Tiramos as constantes:

T m e d = 1 12 20 ∫ 0 12 d t + 6 ∫ 0 12 s e n   π t 12 . d t

A primeira já conseguimos resolver, não é?

T m e d = 1 12 20 t + 6 ∫ 0 12 s e n   π t 12 . d t

Para resolvermos a próxima usamos a substituição:

u = π t 12

Derivando:

d u = π 12 d t → 12 π d u = d t

Substituindo:

T m e d = 1 12 20 t + 6 ∫ 0 12 s e n   u . 12 π d u

T m e d = 1 12 20 t + 7 2 π ∫ 0 12 s e n   u . d u

Resolvendo:

T m e d = 1 12 20 t + 72 π ( - cos ⁡ u ) | 12 0

Substituindo u:

T m e d = 1 12 20 t - 72 π cos ⁡ π t 12 | 12 0

Aplicando o intervalo:

T m e d = 1 12 20 × 12 - 72 π cos ⁡ π × 12 12 - 20 × 0 - 72 π cos ⁡ π × 0 12

T m e d = 1 12 2 40 - 72 π cos ⁡ π - - 72 π cos ⁡ 0

T m e d = 1 12 240 - 72 π ( - 1 ) - - 72 π . 1

T m e d = 1 12 240 + 144 π

T m e d = 20 + 12 π

T m e d = 23,8 ° C

Resposta

T m e d = 23,8 ° C

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