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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

f x = x 2 x 3 + 3 2 ,                         - 1,1

Passo 1

Pessoal, nesta seção nos é dado o conceito de valor médio da função em um intervalo [a,b]. Ele é o seguinte:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Então, para resolver o exercício devemos substituir o valor da função e seu intervalo na equação dada:

f m e d = 1 1 - ( - 1 ) ∫ - 1 1 x 2 x 3 + 3 2 d x

f m e d = 1 2 ∫ - 1 1 x 2 x 3 + 3 2 d x

Primeiramente, vamos fazer uma substituição de variável. Seja:

u = x 3 + 3    

d u = 3 x 2 d x

Aplicando na integral (Vamos esquecer o intervalo por agora):

f m e d = 1 2 ∫ d u / 3 u 2 = 1 2 ∫ d u 3 u 2

f m e d = 1 6 ∫ u - 2 d u

Aplicando a regra da potência: ∫ x a d x = ( x a + 1 ) / ( a + 1 )

f m e d = 1 6 u - 2 + 1 - 2 + 1

f m e d = 1 6 - u - 1

Substituindo o valor de u u = x 3 + 3 e aplicando o intervalo [-1,1]:

f m e d = 1 6 - 1 x 3 + 3 1 - 1

f m e d = 1 6 - 1 1 3 + 3 - 1 6 - 1 - 1 3 + 3 = 1 6 - 1 4 + 1 2

f m e d = 1 24

Resposta

f m e d = 1 24

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