Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

h(x) = cos^4(x) * sen(x), [0, π]

Passo 1

E aí! Tudo certinho? 😉

Nesse problema queremos obter o valor medio da função h x = cos 4 ⁡ x . s e n   x no intervalo 0 , π .

Parece complicado? 👀

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é?

Passo 2

Só vamos substituir:

h m e d = 1 π - 0 ∫ 0 π cos 4 ⁡ x . s e n   x . d x

Para resolver usamos a substituição:

u = cos ⁡ x

Derivando:

d u = - s e n   x . d x → - d u = s e n   x . d x

Substituindo:

h m e d = 1 π ∫ 0 π u 4 . ( - d u )

A constante sai da integral:

h m e d = - 1 π ∫ 0 π u 4 . d u

Legal, né? 😉

Passo 3

Calculando a integral e aplicando os limites de integração, temos

h m e d = - 1 π . u 5 5 | π 0

Substituindo u

h m e d = - 1 π . cos 5 ⁡ x 5 | π 0

Aplicando o intervalo:

h m e d = - 1 5 π . ( cos 5 ⁡ π - cos 5 ⁡ 0 )

h m e d = - 1 5 π . - 1 - 1

h m e d = 2 5 π

E prontoo! O que achou? Responde Aí! 👀

Resposta

h m e d = 2 5 π

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