Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.3 - Ex. 4

Suponha que é contínua em . Prove

Passo 1

O primeiro passo é saber oque foi dito na afirmação.

O símbolo “” é um operador lógigo que significa dizer: “lado esquerdo” é verdadeiro se e somente se “lado direito” for verdadeiro.

Algo importante a ressaltar é que a integral é de , isto é, um pouco diferente do que geralmente é pedido.

Passo 2

Agora vamos retomar o teorema do valor médio para integral,

podendo ser reescito,

Também sabe-se que, para o intervalo dado, esse valor de é maior que o mínimo valor de e menor que o máximo valor de , isto é,

Passo 3

Vamos reescrever o teorema, do passo anterior, usando

E também,

Passo 4

Considerando , como no enunciado,

E isso implica que,

Passo 5

Vamos refletir então!

Para que o seja menor ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo, tem que ser .

Para que o seja maior ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo e , tem que ser .

Sendo os valores máximo e mínimo de iguais à , tem que ser . Consequentemente, também tem que ser , obrigatoriamente! (afinal, que outro número elevado ao quadrado seria ?)