Suponha que f é contínua em [a, b] . Prove

∫ a b f ( x ) 2 d x = 0   ⟺   f ( x ) = 0   e m   a , b

Passo 1

O primeiro passo é saber oque foi dito na afirmação.

O símbolo “ ” é um operador lógigo que significa dizer: “lado esquerdo” é verdadeiro se e somente se “lado direito” for verdadeiro.

Algo importante a ressaltar é que a integral é de f ( x ) 2 , isto é, um pouco diferente do que geralmente é pedido.

Passo 2

Agora vamos retomar o teorema do valor médio para integral,

∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) b - a

podendo ser reescito,

f ( c ) = ∫ a b f ( x ) d x b - a

Também sabe-se que, para o intervalo dado, esse valor de f ( c ) é maior que o mínimo valor de f e menor que o máximo valor de f , isto é,

f m i n ≤ f ( c ) ≤ f m a x

Passo 3

Vamos reescrever o teorema, do passo anterior, usando f ( x ) 2

f ( c ) 2 = ∫ a b f ( x ) 2 d x b - a

E também,

f 2 m i n ≤ f ( c ) 2 ≤ f 2 m a x

Passo 4

Considerando ∫ a b f ( x ) 2 d x = 0 , como no enunciado,

f ( c ) 2 = ∫ a b f ( x ) 2 d x b - a = 0 b - a

E isso implica que,

f 2 m i n ≤ 0 ≤ f 2 m a x

Passo 5

Vamos refletir então!

Para que o f 2 m i n seja menor ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo, f 2 m i n tem que ser 0 .

Para que o f 2 m a x seja maior ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo e ∫ a b f ( x ) 2 d x = 0   , f 2 m a x tem que ser 0 .

Sendo os valores máximo e mínimo de f ( x ) 2 iguais à 0 , f ( x ) 2 tem que ser 0 . Consequentemente, f ( x ) também tem que ser 0 , obrigatoriamente! (afinal, que outro número elevado ao quadrado seria 0 ?)

Resposta

A   a f i r m a ç ã o   é   v e r d a d e i r a .

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