Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.3 - Ex. 4
Suponha que é contínua em . Prove
Passo 1
O primeiro passo é saber oque foi dito na afirmação.
O símbolo “” é um operador lógigo que significa dizer: “lado esquerdo” é verdadeiro se e somente se “lado direito” for verdadeiro.
Algo importante a ressaltar é que a integral é de , isto é, um pouco diferente do que geralmente é pedido.
Passo 2
Agora vamos retomar o teorema do valor médio para integral,
podendo ser reescito,
Também sabe-se que, para o intervalo dado, esse valor de é maior que o mínimo valor de e menor que o máximo valor de , isto é,
Passo 3
Vamos reescrever o teorema, do passo anterior, usando
E também,
Passo 4
Considerando , como no enunciado,
E isso implica que,
Passo 5
Vamos refletir então!
Para que o seja menor ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo, tem que ser .
Para que o seja maior ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo e , tem que ser .
Sendo os valores máximo e mínimo de iguais à , tem que ser . Consequentemente, também tem que ser , obrigatoriamente! (afinal, que outro número elevado ao quadrado seria ?)
Resposta
.