Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.

27. ∫ 0 4 x   d x x 3 + 2 < ∫ 0 4 x   d x

Passo 1

Vamos usar o teorema do valor médio pra provar essa desigualdade.

Passo 2

Vamos chamar f x = 1 x 3 + 2 e g x = x . Existe um número c entre 0 e 4 que satisfaz

∫ 0 4 x   d x x 3 + 2 = 1 c 3 + 2 ∫ 0 4 x   d x

Bruxaria?

Na verdade, f ( c ) é o f ( χ ) , do teorema da questão 26:

∫ a b f x g x d x = f ( χ ) ∫ a b g x d x

Foi? Viu a semelhança?

Passo 3

Agora, como 0 < c < 4 , 1 c 3 + 2 < 1 .

Então se a integral de x está multiplicada por um valor menor que 1, o lado direito será menor que lado esquerdo da desigualdade porque g ( x ) é menor que f ( x ) pelo teorema, assim:

∫ 0 4 x   d x x 3 + 2 < ∫ 0 4 x   d x

Pronto

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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