Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 119
Calcule o valor médio da função temperatura:
para um ano de 365 dias. (Veja o Exercício 98 da Seção 3.6.) Essa é uma forma de estimar a temperatura média anual do ar em Fairbanks, Alasca. O Serviço Nacional de Meteorologia apresenta uma média numérica oficial da temperatura média normal diária para o ano de 25,7 ºF, que é ligeiramente mais elevada do que o valor médio de .
Passo 1
Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:
Como o problema nos diz que o intervalo é , então nossa média será:
Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:
Passo 2
Escrevendo essa integral que teremos que resolver de uma forma mais simples, teremos:
E é aqui que surge algo muito curioso e importante de ser notado! Para a primeira integral, se calcularmos o período do integrando, ou seja, da função seno, teremos:
Lembrando que se o estudo de funções trigonométricas ainda não está tão claro para você, procure dar uma revisada lá no George, uma vez que é bem importante termos esses conceitos fixados, beleza? Continuando o raciocínio, viu que o período deu 365, que é o mesmo intervalo de integração que temos? A implicação disso é que o resultado dessa integral será 0! Sim, sempre que integramos uma função periódica em seu período, o resultado é 0! E isso praticamente já responde nossa questão, não é mesmo? Bora lá!
Passo 3
Bom, como discutido no passo anterior, temos que:
Sendo assim, teremos: