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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 30

Encontre o valor médio de f (x) = (e^(3 x))/(1 + e^(6 x)) no intervalo [ - (ln 3)/(6) , 0 ] .

Passo 1

Então galera, assim como visto na seção 9 do Anton, para calcularmos o valor médio de uma função em um intervalo fechado, devemos resolver a seguinte expressão, se liga:

f_m = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Para a função que nos foi dada, temos que:

f_m = (1)/((ln 3)/(6)) int_(- (ln 3)/(6))^0 (e^(3 x))/(1 + e^(6 x)) d x

f_m = (6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (e^(3 x))/(1 + e^(6 x)) d x = (6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (e^(3 x))/(1 + ( e^(3 x) ) ²) d x

Então é essa integral que temos que resolver, pessoal! Bora lá!

Passo 2

Para resolvermos a integral em questão vamos utilizar a seguinte substituição:

u = e^(3 x)

Disso tiramos que:

d u = 3 e^(3 x) d x

:. (d u)/(3) = e^(3 x) d x

Substituindo na nossa integral:

(6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (e^(3 x))/(1 + ( e^(3 x) ) ²) d x = (6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (u)/(1 + u^2) d x

Resolvendo:

(6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (u)/(1 + u^2) d x = (6)/(ln 3) (a r c t g u) (0)/(- (ln 3)/(6))

(6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (u)/(1 + u^2) d x = (6)/(ln 3) (a r c t g e^(3 x)) (0)/(- (ln 3)/(6))

(6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (u)/(1 + u^2) d x = (6)/(ln 3) (a r c t g 1 - a r c t g e^(3 (- (ln 3)/(6))))

:. f_m = (6)/(ln 3) int_(- (ln 3)/(6))^0 (e^(3 x))/(1 + ( e^(3 x) ) ²) d x = (pi)/(6 ln 3)

E esse é o valor médio da função dada!

Resposta

f_m = (pi)/(6 ln 3)

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