Encontre o valor médio de f(x) = e^(3x) / (1 + e^(6x)) no intervalo - ln(3)/6, 0 .

Passo 1

Então galera, assim como visto na seção 9 do Anton, para calcularmos o valor médio de uma função em um intervalo fechado, devemos resolver a seguinte expressão, se liga:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Para a função que nos foi dada, temos que:

f m = 1 ln ⁡ 3 6 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 e 3 x 1 + e 6 x d x

f m = 6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 e 3 x 1 + e 6 x d x = 6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 e 3 x 1 + ( e 3 x ) ² d x

Então é essa integral que temos que resolver, pessoal! Bora lá!

Passo 2

Para resolvermos a integral em questão vamos utilizar a seguinte substituição:

u = e 3 x

Disso tiramos que:

d u = 3 e 3 x d x

∴ d u 3 = e 3 x d x

Substituindo na nossa integral:

6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 e 3 x 1 + ( e 3 x ) ² d x = 6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 u 1 + u 2 d x

Resolvendo:

6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 u 1 + u 2 d x = 6 ln ⁡ 3 a r c   t g   u 0 - ln ⁡ 3 6

6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 u 1 + u 2 d x = 6 ln ⁡ 3 a r c   t g   e 3 x 0 - ln ⁡ 3 6

6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 u 1 + u 2 d x = 6 ln ⁡ 3 a r c   t g   1 - a r c   t g   e 3 - ln ⁡ 3 6

∴ f m = 6 ln ⁡ 3 ∫ - ln ⁡ 3 6 0 e 3 x 1 + ( e 3 x ) ² d x = π 6 ln ⁡ 3

E esse é o valor médio da função dada!

Resposta

f m = π 6 ln ⁡ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados