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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 29

Em cada parte, calcule a integral. Quando apropriado, use uma fórmula geométrica.

  1. ∫ - 1 1 ( 1 + 1 - x 2 ) d x
  2. ∫ 0 3 ( x x 2 + 1 - 9 - x 2 ) d x
  3. ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x

Passo 1

  1. ∫ - 1 1 ( 1 + 1 - x 2 ) d x

    2. Por definição trigonométrica 1 - x 2 no intervalo dado é a área do semicírculo de raio 1.

    A área de um semicirculo é dado por A = π R 2 2 = π 2 . Dessa forma, nossa integral de 1 no intervalo dado é 2, dessa forma a resposta pode ser dada por : 2 + π 2 . Podemos provar por integração.

    Vamos solucionar a integral separando-a por partes, podemos reescrever a integral como:

    A = ∫ - 1 1 ( 1 + 1 - x 2 ) d x = ∫ - 1 1 1 d x + ∫ - 1 1 1 - x 2 d x

    Vamos usar substituição trigonométrica, onde x = s e n ( θ ) , o ângulo θ = π 2 .

    d x = cos ⁡ θ d θ

    Alterando o intervalo de integração de ± 1 para ± π 2 , substituindo, temos:

    A = ∫ - 1 1 1 d x + ∫ - π 2 π 2 1 - ( s e n θ ) 2 cos ⁡ θ d θ

    Substituindo pela identidade trigonométrica 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ ( θ ) :

    A = ∫ - 1 1 1 d x + ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ θ d θ = ∫ - 1 1 1 d x + ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) d θ

    Substituindo pela identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s ( 2 θ ) 2 :

    A = ∫ - 1 1 1 d x + ∫ - π 2 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) 2 d θ

    Retirando a constante de dentro da integral:

    A = ∫ - 1 1 1 d x + 1 2 ∫ - π 2 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) d θ

    A = [ x ] - 1 1 + 1 2 θ + 1 2 s e n ( 2 θ ) - π 2 π 2

    A = 2 + π 2

    Passo 2

  2. ∫ 0 3 ( x x 2 + 1 - 9 - x 2 ) d x

    3. Por definição trigonométrica 9 - x 2 no intervalo dado é um quarto da área de um circulo de raio 3.

    Vamos solucionar a integral separando-a por partes, podemos reescrever a integral como:

    A = ∫ 0 3 x x 2 + 1 d x - ∫ 0 3 9 - x 2 d x

    Mas, vamos resolver as duas integrais separadamente, e depois só juntamos as coisas.

    Primeiro, vamos resolver ∫ 0 3 x x 2 + 1 , chamando u = x 2 + 1   e d u 2 = x d x , alterando os intervalos de integração quando x = 0   e   u = 1 ,   x = 3   e   u = 10 :

    ∫ 0 3 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 10 u 1 2 d u 2 =   u 3 2 3 1 10 = 10 3 2 3 - 1 3

    Agora, vamos resolver a outra integral, onde:

    ∫ 0 3 9 - x 2 d x

    Vamos usar substituição trigonométrica, onde x = 3 s e n ( θ ) , o ângulo θ = π 2 .

    d x = 3 cos ⁡ θ d θ

    Alterando o intervalo de integração de [ 0 ,   3 ] para 0 , π 2 , substituindo, temos:

    B = ∫ 0 π 2 9 - ( 3 s e n θ ) 2 3 cos ⁡ θ d θ

    B = ∫ 0 π 2 9 ( 1 - ( s e n θ ) ) 2 3 cos ⁡ θ d θ

    Substituindo pela identidade trigonométrica 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ ( θ ) :

    B = ∫ 0 π 2 9 ( c o s θ ) 2 3 cos ⁡ θ d θ

    Reorganizando:

    B = ∫ 0 π 2 9 cos 2 ⁡ θ d θ

    Substituindo pela identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s ( 2 θ ) 2 :

    B = 9 ∫ 0 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) 2 d θ

    Retirando a constante de dentro da integral:

    B = 9 2 ∫ 0 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) d θ

    B = 9 2 θ + 1 2 s e n ( 2 θ ) 0 π 2

    B = 9 π 4

    Dessa forma:

    ∫ 0 3 ( x x 2 + 1 - 9 - x 2 ) d x = 10 3 2 3 - 1 3 - 9 π 4

    Passo 3

  3. ∫ 0 1 x 1 - x 4 d x

Por definição trigonométrica 1 - u 2 no intervalo dado é um quarto da área do semicírculo de raio 1.

Vamos solucionar por substituição, onde u = x 2   e d u 2 = x d x

A = 1 2 ∫ 0 1 ( 1 - u 2 ) d u

Agora, usaremos substituição trigonométrica, onde u = s e n ( θ ) , o ângulo θ = π 2 .

d u = cos ⁡ θ d θ

Alterando o intervalo de integração de [ 0 ,   1 ] para 0 , π 2 , substituindo, temos:

A = ∫ 0 π 2 1 - ( s e n θ ) 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo pela identidade trigonométrica 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ ( θ ) :

A = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) d θ

Substituindo pela identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s ( 2 θ ) 2 :

A = ∫ 0 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) 2 d θ

Retirando a constante de dentro da integral:

A = 1 2 ∫ 0 π 2 1 + c o s ( 2 θ ) d θ

A = 1 2 θ + 1 2 s e n ( 2 θ ) 0 π 2

A = π 8

Resposta

(a)   2 + π 2

(b)   10 3 2 3 - 1 3 - 9 π 4

(c) π 8

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