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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 22

19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.

22. ∫ e - 3 e 3 9 - ln ⁡ x 2 x d x ; u = ln ⁡ x

Passo 1

Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ e - 3 e 3 9 - ln ⁡ x 2 x d x

E nossa substituição é:

u = ln ⁡ x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 1 x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ e - 3 e 3 9 - ln ⁡ x 2 x d x = ∫ e - 3 e 3 9 - u 2 d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = e - 3 e x = e 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u e - 3 = ln ⁡ e - 3 = - 3

u e 3 = ln ⁡ e 3 = 3

Logo, nossa integral será:

∫ e - 3 e 3 9 - ln ⁡ x 2 x d x = ∫ - 3 3 9 - u 2 d u

Passo 3

Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando y = 9 - u 2 é o semicírculo superior de raio 3 e centro na origem; sendo assim, a região é metade de um círculo inteiro estendendo-se de x = - 3 até x = 3 , ou seja:

∫ - 3 3 9 - u 2 d u = 1 2 . Á r e a   d o   c í r c u l o

∫ - 3 3 9 - u 2 d u = 1 2 . π R 2 = 1 2 . π . 3 2

∴ ∫ - 3 3 9 - u 2 d u = 9 π 2

E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊

Resposta

∫ e - 3 e 3 9 - ln ⁡ x 2 x d x = 9 π 2

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