Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 40
Se , encontre o valor de no ponto onde .
Passo 1
Nessa questão devemos usar derivação implícita para encontrar , sendo que foi dado na seguinte expressão:
Para derivar implicitamente basta derivar os dois lados da equação e sempre que for derivar em tem que multiplicar por .
Aqui ele só nos deu o valor de . Para saber onde esse ponto está na nossa função, devemos substituí-lo na expressão dada.
Passo 2
Se na equação , então, nós temos que:
Isso implica que:
Como é sempre maior ou igual a 1 e portanto não pode ser zero, temos que:
E o ponto onde é:
Passo 3
Diferenciando implicitamente em relação a , temos:
Repara que rolou ali dentro do parênteses uma regra do produto.
Arrumando, temos:
Substituindo pelos pontos que encontramos: , nós ficamos com:
O que nos dá que:
Passo 4
Agora, precisamos derivar novamente, ou seja, vamos derivar a equação
em relação a e isso nos dá que:
Arrumando, temos:
Agora faremos as seguintes substituições: . Então, ficamos com:
Isso implica que:
Passo 5
Agora vamos derivar implicitamente a equação
em relação a .
Isso nos dá que:
Agora faremos as seguintes substituições:. Então, ficamos com:
Organizando
Isso nos dá que: