Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 7
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Opaa, tudo bom?! Bora fazer essa questão! Temos a seguinte integral:
O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!
O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1. Esse tipo de integral tem um dos limites de integração igual a e é exatamente o nosso caso, pois o limite inferior é .
Por definição temos que:
Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?
A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!
Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!
Passo 2
Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:
Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?!
Temos então:
Pra resolver esse problema a gente pode usar substituição simples! Se você não lembra, ela funciona assim:
Podemos dizer que:
Agora é só substituir:
Então ficamos com:
Temos que:
Temos então:
Temos que então:
Agora a gente vai voltar pra nossa expressão original! Como a nossa integral de verdade é definida, então podemos jogar esse fora:
Aplicando os limites de integração:
Organizando:
Passo 3
Agora precisamos avaliar esse limite:
Podemos escrever:
O limite de uma constante é igual a própria constante, então:
Agora vamos olhar para:
A medida que vamos para o termo vai crescendo pra infinito, concorda?! (Se tiver dúvida é só fazer um cálculo rápido como ).
A função logarítmica é uma função crescente, então . Portanto:
Podemos dizer que:
O nosso limite vai pra infinito, ele não converge pra nenhum número! Portanto a nossa integral é divergente!
Resposta
é divergente.