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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 8

Passo 1

Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

6 x^2 y + 2 x^3 (d y)/(d x) + 3 y^3 + 9 x y^2 (d y)/(d x) = 0

Jogando tudo que tem d y // d x pra um lado e o que não tem pra outro

2 x^3 (d y)/(d x) + 9 x y^2 (d y)/(d x) = - 3 y^3 - 6 x^2 y

(2 x^3 + 9 x y^2) (d y)/(d x) = - 3 y^3 - 6 x^2 y

(d y)/(d x) = - ((3 y^3 + 6 x^2 y))/((2 x^3 + 9 x y^2))

E ta dááá!

Resposta

(d y)/(d x) = - ((3 y^3 + 6 x^2 y))/((2 x^3 + 9 x y^2))

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Encontre d y // d x por derivação implícita.sqrt(x + y) = 1 + x^2 y^2
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . x 4 y 2 - x 3 y + 2 x y 3 = 0
Se g (x) + x s e n g (x) = x^2 , ache g ' ( 0 ) .
Encontre d y / d x por derivação implícita. x 2 y 2 + xs e ny = 4
Encontre d y // d x derivando implicitamente.sqrt(x y) = 1 + x^2 y