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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 78

Encontre o valor de c tal que a reta y = 3 2 x + 6 seja tangente à curva y = c x .

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema queremos encontrar o valor de c tal que a reta y = 3 2 x + 6 seja tangente à curva:

y = c x = c x 1 2

Podemos ver que a inclinação m da reta é igual a 3 2 .

Sabe-se que m = y ' ( x 0 , y 0 ) , onde ( x 0 , y 0 ) é o ponto de tangência. A derivada da curva é:

y ' = c   1 2 x 1 2   -     1 = c 2 x - 1 2

Veja só!

Passo 2

Então, temos

m = y ' x 0 , y 0 = c 2 x 0 - 1 2 = 3 2      

    c x 0 - 1 2 = 3      

  c x 0 1 2 = 3    

  c x 0 = 3  

    c = 3 x 0    

Isolando x 0 em um lado da igualdade, temos

    c 3 =   x 0  

      c 3   2 = x 0  

    x 0 = c 2 9           ( I )

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O ponto ( x 0 , y 0 ) pertence à reta, então: y 0 = 3 2 x 0 + 6     ( I I )

Substituindo ( I ) na ( I I ) temos y 0 = 3 2 c 2 9   + 6     →   y 0 = c 2 6   + 6       ( I I I )  

Esse ponto também pertence à curva, então: y 0 = c x 0         ( I V )

Substituindo a ( I ) e ( I I I ) na ( I V ) teremos uma equação para revolver em c :

c 2 6   + 6 = c c 3    

    c 2 6 + 6 = c 2 3    

Isolando c em um lado da igualadade

    6 = c 2 3 -   c 2 6    

  c 2 = 36    

c = ± 6

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

c = ± 6

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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado. y = e x x , 1 , e