Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 85
Se , quantas retas pelo ponto são normais à parábola ? E se
Passo 1
Oiee, bora resolver essa comigo?
Para encontrar o número de retas que passam pelo ponto e são normais à parábola primeiro devemos entender o que significa uma reta ser normal a uma curva.
Uma reta é normal a uma curva em um ponto se sua inclinação (ou derivada) é o negativo do inverso da inclinação (ou derivada) da tangente à curva nesse ponto.
Dado que a inclinação da tangente à curva no ponto a inclinação da reta normal nesse ponto será .
Portanto, para que uma reta passe pelo ponto e seja normal à parábola sua inclinação deve ser quando passar pelo ponto .
Passo 2
A inclinação de uma reta que passa pelos pontos é dada por
que simplifica
Então, para que a reta seja normal à parábola, temos:
Passo 3
Resolvendo essa equação para obteremos os valores de onde a reta é normal à parábola.
Se então
Substituindo por temos:
Sendo a equação tem três raízes distintas. Portanto, existem três retas que passam pelo ponto e são normais à parábola quando .
Se , então
Passo 4
Nesse caso, não há raízes para que satisfaçam a equação
com
Portanto, não existem retas que passam pelo ponto e são normais à parábola quando .
Resposta
Portanto, não existem retas que passam pelo ponto e são normais à parábola quando .