Encontre uma parábola com a equação y = a * x^2 + b * x + c que tenha inclinação 4 em x = 1 , inclinação - 8 cm x = - 1 e passe pelo ponto (2, 15) .

Passo 1

Falaii galerinhaaa, tudo bem?

Vamos resolver essa juntinho?

A inclinação de uma curva em um ponto específico é medida pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

Para uma função y = f ( x ) a inclinação da reta tangente em x = a é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, f ' a .

Para uma função quadrática da forma y = a x 2 + b x + c sua primeira derivada y ' em relação a x   é   y ' = 2 a x + b .

Esta é a equação da reta tangente à parábola em qualquer ponto ( x ,   y ) ao longo da curva.

Para encontrar os coeficientes de uma parábola que passa por um ponto específico, podemos substituir as coordenadas ( x ,   y ) desse ponto na equação da parábola e resolver para os coeficientes desconhecidos.

Ao resolver este problema, primeiro determinamos as inclinações da curva nos pontos \ x = 1 e   ( x = - 1 ) utilizando a derivada da função quadrática.

Em seguida, usamos essas inclinações para formar um sistema de equações que nos permitiu encontrar os coeficientes a   e   b da função quadrática.

Por fim, usamos o ponto dado ( 2 ,   15 ) para encontrar o coeficiente c .

Passo 2

Queremos encontrar a equação de uma parábola y = a x 2 + b x + c que tenha inclinação igual a 4 na abcissa x = 1 , inclinação igual a - 8 na abcissa x = - 1 e que passe pelo ponto ( 2   ,   15 ) .

Para acharmos a equação da parábola , precisamos descobrir os valores das constantes a , b e c .

O enunciado diz que ela tem inclinação igual a 4 em x = 1 , isto é, m 1 = 4 = y ' ( x 1 ,   y 1 ) , onde x 1 = 1 e inclinação igual a - 8 , ou seja , m 2 = - 8 = y ' ( x 2 ,   y 2 ) , onde x 2 = - 1

Vamos achar a expressão do coeficiente angular das tangentes derivando a função y ( x ) , assim:

y ' = 2 a x + b

Então, temos que

m 1 = 4 = 2 a x 1 + b  

  4 = 2 a 1 + b

4 = 2 a + b     ( I )

m 2 = - 8 = 2 a x 2 + b

- 8 = 2 a - 1 + b  

- 8 = - 2 a + b     ( I I )

Passo 3

Podemos achar o valor de b somando as equações ( I ) e ( I I ) :

Logo,

4 + - 8 = 2 a + b + - 2 a + b

  - 4 = 2 b

    b = - 2

Substituindo o valor de b em uma das duas equações I ou I I achamos a = 3 .

Para acharmos o valor de c , usamos o fato de a parábola passar pelo ponto 2   ,   15 .

Basta substituir esse ponto na função da parábola, assim:

15 = a 2 2 + b 2 + c  

15 = 3 2 2 + - 2 2 + c  

c = 7

Então, a parábola é y = 3 x 2 - 2 x + 7

Resposta

y = 3 x 2 - 2 x + 7

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