Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 66
Encontre uma parábola com a equação que tenha inclinação em , inclinação e passe pelo ponto .
Passo 1
Falaii galerinhaaa, tudo bem?
Vamos resolver essa juntinho?
A inclinação de uma curva em um ponto específico é medida pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.
Para uma função a inclinação da reta tangente em é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja,
Para uma função quadrática da forma sua primeira derivada em relação a .
Esta é a equação da reta tangente à parábola em qualquer ponto ao longo da curva.
Para encontrar os coeficientes de uma parábola que passa por um ponto específico, podemos substituir as coordenadas desse ponto na equação da parábola e resolver para os coeficientes desconhecidos.
Ao resolver este problema, primeiro determinamos as inclinações da curva nos pontos \ utilizando a derivada da função quadrática.
Em seguida, usamos essas inclinações para formar um sistema de equações que nos permitiu encontrar os coeficientes da função quadrática.
Por fim, usamos o ponto dado para encontrar o coeficiente .
Passo 2
Queremos encontrar a equação de uma parábola que tenha inclinação igual a na abcissa , inclinação igual a na abcissa e que passe pelo ponto .
Para acharmos a equação da parábola , precisamos descobrir os valores das constantes , e .
O enunciado diz que ela tem inclinação igual a 4 em , isto é, , onde e inclinação igual a , ou seja , , onde
Vamos achar a expressão do coeficiente angular das tangentes derivando a função , assim:
Então, temos que
Passo 3
Podemos achar o valor de somando as equações e :
Logo,
Substituindo o valor de em uma das duas equações ou achamos .
Para acharmos o valor de , usamos o fato de a parábola passar pelo ponto .
Basta substituir esse ponto na função da parábola, assim:
Então, a parábola é