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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s e n ( x ) ?

  1. y = s e n ( x )
  2. y = c o s ⁡ ( x )
  3. y = 1 2 x s e n ( x )
  4. y = - 1 2 x c o s ( x )

Passo 1

(a) Opaa, fala aí, beleza?? Vamos conferir letra por letra para saber qual função satisfaz a nossa EDO. Para isso, basta substituirmos a função na EDO.

Queremos ver se y = s e n ( x ) é solução da equação y ' ' + y = s e n ( x ) . Então vamos derivar y e aplicar na equação.

y = s e n ( x )

y ' = cos ⁡ x

y ' ' = - s e n ( x )

Substituindo:

y ' ' + y = s e n ( x )

- s e n x + s e n x = s e n ( x )

0 = s e n ( x )

Opa, os dois lados da igualdade não são iguais, s e n x ≠ 0 ! Logo, essa não é uma solução da equação.

Passo 2

(b) Agora, vamos testar o y = cos ⁡ x . Assim como no item (a), vamos derivar y e substituir na equação.

y = cos ⁡ x

y ' = - s e n ( x )

y ' ' = - c o s ⁡ ( x )

Substituindo:

y ' ' + y = s e n ( x )

- cos ⁡ x + c o s ⁡ ( x ) = s e n ( x )

0 = s e n ( x )

Opa, os dois lados da igualdade não são iguais, cos ⁡ ( x ) ≠ 0 ! Logo, essa não é uma solução da equação.

Passo 3

(c) Vamos fazer a mesma coisa que nas letras anteriores. Mas, agora, temos y = 1 2 x s e n ( x ) , então:

y = x s e n ( x ) 2

Pela regra do produto:

y ' = 1 2 s e n x + x c o s x

y ' = s e n x 2 + x c o s x 2

E:

y ' ' = 1 2 cos ⁡ x + cos ⁡ x - x s e n x

y ' ' = 1 2 2 cos ⁡ x - x s e n x

y ' ' = cos ⁡ x - x s e n x 2

Substituindo:

y ' ' + y = s e n ( x )

cos ⁡ x - x s e n x 2 + x s e n ( x ) 2 = s e n ( x )

c o s ⁡ ( x ) = s e n ( x )

Opa, os dois lados da igualdade não são iguais, cos ⁡ ( x ) ≠ s e n ( x ) ! Logo, essa não é uma solução da equação.

Passo 4

(d) Por último, temos y = - 1 2 x c o s ( x ) . Assim, podemos fazer da mesma maneira que nos outros itens:

y = - x c o s ( x ) 2

Pela regra do produto:

y ' = - 1 2 c o s x - x s e n x

y ' = - c o s x 2 + x s e n x 2

E:

y ' ' = - 1 2 - s e n x - s e n x + x c o s x

y ' ' = - 1 2 - 2 s en ⁡ x - x c o s x

y ' ' = s en ⁡ x + x c o s x 2

Substituindo:

y ' ' + y = s e n ( x )

sen ⁡ x + x c o s x 2 - x c o s ( x ) 2 = s e n ( x )

s e n ⁡ ( x ) = sen ⁡ ( x )

Opa, finalmente, os dois lados da igualdade são iguais, s e n ⁡ ( x ) = sen ⁡ ( x ) ! Logo, essa é uma solução da equação!!

Prontinho! Acabou!

Resposta

(d)

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Verifique se y =- t cos ⁡ t- t é uma solução do problema de valor inicial t d y d t =y + t 2 sin ⁡ t, y π = 0
Differential equations have been used extensively in the study of drug dissolution for patients given oral medications. One such equation is the Weibull equation for the concentration C T of the drug:
Use o Campo de Direções III acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas
Use o Campo de Direções I acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas
Use o método de Euler com o passo 0,2 para estimar y ( 0,6 ) , onde y ( x ) é a solução do problema de valor inicial y ' = cos ⁡ x + y y 0 = 0