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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 57

Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de p .

∫ 0 1 1 x p   d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Devemos ver para quais valores de p a integral será convergente. Neste problema, vamos separar em alguns casos:

p ≤ 0

0 < p < 1

p = 1

p > 1

Para p ≤ 0 , temos uma função a integral de um polinômio, que será claramente convergente:

∫ 0 1 1 x p   d x = ∫ 0 1 x - p d x

= 1 1 - p x 1 - p 0 1

= 1 1 - p 1 1 - p

= 1 1 - p

Passo 2

Para 0 < p < 1 , temos que o integrando explode em x = 0 . Assim, calculamos primeiro a integral

∫ t 1 x - p d x = 1 1 - p x 1 - p t 1

= 1 1 - p - 1 1 - p t 1 - p

Como 1 - p > 0 , segue que lim t → 0 + ⁡ t 1 - p = 0 , zerando o segundo termo ( 1 1 - p t 1 - p ) , de modo que a integral converge para o valor 1 1 - p .

Por outro lado, para p > 1 , 1 - p < 0 , de modo que lim t → 0 + ⁡ t 1 - p = 0 = ∞ , e a integral não converge.

Passo 3

Por fim, para p = 1 , temos que

∫ t 1 1 x d x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ t

= - ln ⁡ t

Fazendo t → 0 + , ln ⁡ t → - ∞ e a integral diverge.

Resposta

Assim, vemos que a integral converge apenas para p < 1 e nesses casos, vale 1 1 - p .

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