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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 59

Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de p .

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nessa questão queremos encontrar os valores de p para qual a integral converge e calcular a integral para tais valores da integral

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x

Tem ideia de como começar? 👀

Para a integral convergir, ela deve resultar em uma constante...

Se ela resultar em ± ∞ , ela diverge...

Veja só! 😐

Passo 2

Supondo primeiramente p = - 1 , temos

∫ 0 1 ln ⁡ x x d x = lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x x d x

∫ 0 1 ln ⁡ x x d x = l i m t → 0 1 2 ln ⁡ x 2 t 1

∫ 0 1 ln ⁡ x x d x = - ∞

Dessa forma, para p = - 1 a integral diverge. Supondo agora p < - 1 , temos

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x = lim t → 0 ⁡ x p + 1 p + 1 ln ⁡ x - x p + 1 p + 1 2 t 1

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x = ∞

Dessa forma, para p < - 1 a integral diverge.

Supondo agora p > - 1 , temos

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x = - 1 p + 1 2 - 1 p + 1 lim t → 0 ⁡ ln ⁡ t - 1 p + 1 t - p + 1

∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x = - 1 p + 1 2  

Portanto a integral converge para p > - 1 .

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

A integral converge para p > - 1 para o valor - 1 p + 1 2 e diverge para os outros valores.

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Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ 0 e 3 x d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ + ∞ x d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 + ∞ 1 x 2 d x
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x x d x ; u = x [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 converge a 3 .