Suponha que 0 ≤ f(t) ≤ M * e^(at) e 0 ≤ f'(t) ≤ K * e^(at) para t >= 0 , onde f' é contínua. Se a Transformada de Laplace de f' (t) é G(s) , mostre que

G(s) = s * F(s) - f(0) s > a

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a Transformada de Laplace da função é G s = s F s - f 0 . Para isso, utilizaremos a definição de transformada e de integrais impróprias.

Passo 2

Utilizando a integração por partes, temos

∫ 0 ∞ f ' t e - s t d t

f = e - s t g ' = f ' t f ' = - s e - s t g = f t

Passo 3

Dessa forma, temos

G s = lim n → ∞ ⁡ f t e - s t 0 n + s ∫ 0 ∞   f t e - s t d t = l i m n → ∞ f n e - s n - f 0 + s F s

Porém,

l i m n → ∞ f n e - s n = 0

Então, temos que

G s = s F s - f 0

Resposta

Como queremos provar,

G s = s F s - f 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados