Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 converge a 3 .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para o caso do nosso exercício, a ideia é bem simples. Para verificarmos a afirmação, podemos fazer da maneira mais trivial: calcular a integral de maneira direta e conferir se o resultado obtido é igual a 3 .

No entanto, se observarmos bem a forma da nossa integral, vamos perceber que ela é familiar. Por conveniência, vamos lembrar dessa familiaridade.

Passo 2

Lembrando do Teorema 7.8 . 2 (você pode encontrá-lo na página 550 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. – ANTON), existem apenas duas possibilidades para o resultado de uma integral específica dada por:

∫ 1 + ∞ d x x p

Tal que o resultado dela depende do valor de p :

Se p > 1 → 1 p - 1

E

Se p ≤ 1 → Divergente

Passo 3

Então, pegando a nossa integral e reorganizando ela:

∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 d x = ∫ 1 + ∞ d x x 4 / 3

Vemos que ela tem a mesma forma da integral dada no Teorema.

Logo, como temos:

p = 4 / 3 > 1

Nossa integral resulta em:

∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 d x = 1 4 3 - 1

Portanto:

∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 d x = 1 1 3 = 3

O que mostra que a integral converge para o valor 3 e que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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