Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 33

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

converge a .

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para o caso do nosso exercício, a ideia é bem simples. Para verificarmos a afirmação, podemos fazer da maneira mais trivial: calcular a integral de maneira direta e conferir se o resultado obtido é igual a .

No entanto, se observarmos bem a forma da nossa integral, vamos perceber que ela é familiar. Por conveniência, vamos lembrar dessa familiaridade.

Passo 2

Lembrando do Teorema (você pode encontrá-lo na página do livro Cálculo Vol. - Ed. – ANTON), existem apenas duas possibilidades para o resultado de uma integral específica dada por:

Tal que o resultado dela depende do valor de :

Se

E

Se Divergente

Passo 3

Então, pegando a nossa integral e reorganizando ela:

Vemos que ela tem a mesma forma da integral dada no Teorema.

Logo, como temos:

Nossa integral resulta em:

Portanto:

O que mostra que a integral converge para o valor e que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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Suponha f integrável em a , t , para todo t≥ a , com f x ≥ 0 em [ a , + ∞ [ . Suponha que existem um a real e uma função g tais que, para todo x ≥ a , f x = 1 x a g x . Suponha além disso que l i m x

Suponha que f e f ' sejam de ordens exponencial γ 1 e γ 2 , respectivamente. Suponha, ainda, que f ' ' seja contínua. Verifique que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 -

Seja f uma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial γ . Verifique que, para sγ , ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t é convergente e que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

Procedendo como no exercício anterior, determine f tal que: f ' t - 2 f t = cos ⁡ t e f 0 = 2 . f ' t + f t = e 2 t e f 0 = - 1 .

SuponhaF ( x ) crescente em [ a ,+ ∞ [ . Prove que lim x → ∞ ⁡F x será infinito ou + ∞ . Será finito e igual a s u p ⁡ { F x ; x ≥ a } se existir M0 tal que, para todo x ≥ a , F x ≤ M .