Dada f(x) = x^2 + r * x^(-1) , prove que, independente do valor de r , f tem um valor mínimo relativo, mas não tem valor máximo relativo.

Passo 1

A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos, ou seja, que sua derivada é 0 ou não existe.

f ' x = 2 x - r x - 2

A derivada não vai existir em x = 0 por conta do expoente negativo. Mas a própria f x tem x - 1 , então x = 0 nem está no domínio da função. Então não pode ser ponto crítico.

Vamos igualar a 0 agora

2 x - r x - 2 = 0

2 x = r x - 2

Fazendo

x - 2 = 1 x 2

Vamos ter

2 x = r x 2

x 3 = r 2

x = r 2 3

Que é o nosso ponto crítico

Passo 2

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Temos

f ' ' x = 2 + 2 r x - 3

Fazendo o valor dela em x = r 2 3 :

f ' ' r 2 3 = 2 + 2 r r 2 3 - 3 = 2 + 2 r r 2 - 1

f ' ' r 2 3 = 2 + 2 r 2 r = 2 + 4 = 6 > 0

Então x = r 2 3 é ponto de mínimo relativo.

Logo a função sempre tem mínimo relativo mas nunca tem máximo relativ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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