Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f   no intervalo dado.

f x = x - 2   t g - 1 x ,       [ 0,4 ]

Passo 1

Os números críticos são onde a derivada é zero. Então vamos calcular a derivada da função e ver para quais valores ela zera...

Vamos reescrever a função sabendo que a inversa da tangente é a arco tangente...

f x = x - 2 a r c t g   x

Agora a gente deriva:

f ' x = 1 - 2 1 + x 2

Pra dar zero...

2 1 + x 2 = 1 → 1 + x 2 = 2

x 2 = 1 → x = ± 1

Esses são os candidatos a pontos críticos, vamos testar o valor deles e os do intervalo...

Passo 2

f - 1 =   - 1 - 2   a r c t g   - 1 =   - 1 + π 2 =   ≈ 0,57

f 0 = 0 - 2   a r c t g   0 = 0

f 1 = 1 - 2 a r c t g   1 = 1 - π 2 ≈   - 0,57

f 4 = 4 - 2 a r c t g   4 = 4 - 2 1,3258 = 1,3484

Daí, concluímos que...

Ponto máximo absoluto: ( 4 ,     1,3484 )

Ponto mínimo absoluto: ( 1 , - 0,57 )

Então o valor máximo é 1,3484 e o valor mínimo é - 0,57

Resposta

1 , 3484   e - 0,57

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