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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 59

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

59- p x = x x 2 - 1 2

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = x 2 - 1 2 + 4 x 2 ( x 2 - 1 )

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 4 x   x 2 + 1 +   8 x x 2 - 1 + 8 x 3

p ´ ´ x = 4 x 3 + 4 x + 8 x 3 - 8 x + 8 x 3

p ´ ´ x = 20 x 3 - 4 x

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

x 2 - 1 2 + 4 x 2 ( x 2 - 1 ) = 0

x 2 - 1 x 2 - 1 + 4 x 2 = 0

x 2 - 1 = 0

x 1 e   x 2 = ± 1

5 x 2 - 1 = 0

x 3   e   x 4 = ± 1 5

Para x = 1 :

p 1 = 0

Para x = - 1 :

p - 1 = 0

Para x = 1 5 :

p 1 5 = 16 25 5

Para x = - 1 5 :

p - 1 5 = - 16 25 5

( 1,0 ) , - 1,0 ,   ( 1 5 ,   16 25 5 ) ,   ( - 1 5 ,   - 16 25 5 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = 1 :

p ´ ´ 1 = 16

Como p ´ ´ 1 > 0 , o ponto ( 1,0 ) é mínimo.

Para x = - 1 :

p ´ - 1 = - 16

Como p ´ ´ - 1 < 0 , o ponto ( - 1,0 ) é máximo.

Para x = 1 5 :

p ´ 1 5 = 0

Como p ´ ´ 1 5 = 0 temos que usar o teste da primeira derivada. Para isso, temos que fazer o estudo de sinal de p ´ 1 5 .   Vamos testar dois pontos, um direita do 1 5 e o outro a esquerda e ver como essa função se comporta.

Para x = 0,1 :

p ´ 0,1 = 0,9405

Para x = 0,5 :

p ´ 0,5 = - 0,1875

Como   p ´ 0,1 > 0   e   p ´ 0,5 < 0 , o ponto 1 5 ,   16 25 5 é um máximo.

Para x = - 1 5 :

p ´ - 1 5 = 0

Como p ´ ´ - 1 5 = 0 temos que usar o teste da primeira derivada. Para isso, temos que fazer o estudo de sinal de p ´ - 1 5 .   Vamos testar dois pontos, um direita do - 1 5 e o outro a esquerda e ver como essa função se comporta.

Para x = - 0,5 :

p ´ - 0,5 = - 0,1875

Para x = - 0,2 :

p ´ - 0,2 = 1,686

Como p ´ - 0,5 < 0 e p ´ - 0,2 > 0 , o ponto - 1 5 ,   - 16 25 5 é um mínimo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 20 x 3 - 4 x

p ´ ´ x = 0

20 x 3 - 4 x = 0

4 x ( 5 x 2 - 1 ) = 0

4 x = 0

x 1 = 0

5 x 2 - 1 = 0

x 1   e   x 2 = ± 1 5  

Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do 0 . Para isso vamos testar um valor de x < 0 e outro valor de x > 0 . Ok ???

Para x = - 1 :

p ´ ´ - 1 = 24

Para x = 0,5 :

p ´ ´ 0,5 = - 3

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 0 , para x = 0 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 0

p 0 = 0  

O ponto ( 0 ,   0 )   é um ponto de inflexão.

Bom... Também temos quer ver como a função se comporta antes e depois do 1 5 . Para isso, vamos testar um valor de x < 1 5 e outro valor de x > 1 5 . Ok ???

Para x = 0,1 :

p ´ ´ 0,1 = - 0,38

Para x = 0,5 :

p ´ ´ 0,5 = 0,5

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 1 5 , para x = 1 5 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 1 5

p 1 5 = 16 25 5  

O ponto ( 1 5 , 16 25 5 )   é um ponto de inflexão.

Bom... Também temos quer ver como a função se comporta antes e depois do - 1 5 . Para isso, vamos testar um valor de x < - 1 5 e outro valor de x > - 1 5 . Ok ???

Para x = - 0,1 :

p ´ ´ - 0,2 = 0,38

Para x = - 0,5 :

p ´ ´ - 0,5 = - 5

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do - 1 5 , para x = - 1 5 , temos um ponto de inflexão.

Para x = - 1 5

p - 1 5 = - 16 25 5  

O ponto ( - 1 5 , - 16 25 5 )   é um ponto de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

x x 2 - 1 2 = 0

x = 0  

x 2 - 1 = 0

x =   ± 1

Os cortes com eixo x são nos pontos:

- 1,0 ,   1,0 ,   ( 0,0 )

- Eixo y :

p 0 = 0

Os cortes com eixo y são nos pontos:

( 0,0 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

1,0 ( m í n i m o ) , - 1,0   ( m á x i m o ) ,   1 5 ,   16 25 5 ( m á x i m o ) ,   ( - 1 5 ,   - 16 25 5 ) (mínimo)são nossos pontos estacionários.

1 5 ,   16 25 5 ,   - 1 5 ,   - 16 25 5 ,   ( 0,0 ) são pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: - 1,0 , 1,0   e   ( 0,0 )

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