Calcule a integral.

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w

Passo 1

Bom meus queridos, nessa questão temos que resolver a seguinte integral definida:

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w

Nessa caso nosso integrando é a variável w , mas é a mesma coisa como se fosse x tá bem?

Para resolver a integral, vamos usar a propriedade de que a integral da soma/subtração é a soma/subtração de integrais:

∫ f x ± g x d x = ∫ f x d x ± ∫ g x d x

E também vamos usar a propriedade de que uma constante pode sair da integral:

∫ C f x d x = C ∫ f x d x

E para resolver cada integral vamos usar a ideia de antiderivada.

Aqui temos a potência de x , e a regra da antiderivada para a potência de x é:

x n = x n + 1 n + 1 '

Vamos ter também uma constante. A regra da antiderivada para a constante é:

C = C x '

E como temos uma integral definida, teremos que substituir os limites de integração no final, fazendo:

∫ a b f x d x = F x | b a = F b - F ( a )

Passo 2

Primeiramente vamos abrir nossa integral em 3 integrais:

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w = ∫ 0 3 1 d w + ∫ 0 3 6 w 2 d w - ∫ 0 3 10 w 4 d w

Tirando as constantes, teremos:

= ∫ 0 3 1 d w + 6 ∫ 0 3 w 2 d w - 10 ∫ 0 3 w 4 d w

E resolvendo pela antiderivada da potência de w e da constante teremos:

w + 6 w 3 3 - 10 w 5 5

Simplificando:

w + 2 w 3 - 2 w 5

Passo 3

Vamos aplicar os limites agora, lembrando que pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós aplicamos o limite superior e diminuímos pelo resultado do limite inferior:

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w = w + 2 w 3 - 2 w 5 3 0

= 3 + 2 3 3 - 2 3 5 -   0 + 2 0 3 - 2 0 5

3 + 54 - 486 - 0

Portanto, o resultado será:

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w = - 429

Prontinho😉

Resposta

∫ 0 3 1 + 6 w 2 - 10 w 4 d w = - 429

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