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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 68

Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os extremos relativos de f e, então, confira sua conjectura usando o teste da derivada primeira ou derivada segunda.

f x = 2 e x + e - x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 0 e x + e - x - 2 e x + e - x ⋅ - 1 e x + e - x 2 = - 2 e x - e - x e x + e - x 2 = - 2 e x + 2 e - x e x + e - x 2 =

= - 2 e x - e - x e x + e - x 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 2 e x - e - x e x + e - x 2 = 0 → e x - e - x = - 1 → e x = e - x → x = - x → 2 x = 0 → x = 0

Temos como pontos críticos então:

x = 0

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = - 2 e x - e - x - 1 e x + e - x 2 - - 2 e x - e - x 2 e x + e - x e x + e - x - 1 e x + e - x 4 =

= - 2 e x + e - x e x + e - x + 4 e x - e - x e x - e - x e x + e - x 3 = - 2 e x + e - x 2 + 4 e x - e - x 2 e x + e - x 3 =

= - 2 e 2 x + 2 e x - x + e - 2 x + 4 e 2 x - 2 e x - x + e - 2 x e x + e - x 3 =

= - 2 e 2 x + 2 + e - 2 x + 4 e 2 x - 2 + e - 2 x e x + e - x 3 = - 2 e 2 x - 4 - 2 e - 2 x + 4 e 2 x - 8 + 4 e - 2 x e x + e - x 3 =

= 2 e 2 x - 12 + 2 e - 2 x e x + e - x 3

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' 0 = 2 e 2 ⋅ 0 - 12 + 2 e - 2 ⋅ 0 e 0 + e - 0 3 = 2 e 0 - 12 + 2 e 0 1 + 1 e 0 3 = 2 ⋅ 1 - 12 + 2 ⋅ 1 1 + 1 1 3 = - 8 2 3 = - 8 8 = - 1 < 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = 0 é um máximo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = 0 é um máximo relativo.

Resposta

x = 0 é um máximo relativo

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