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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 64

Encontre os extremos relativos no intervalo 0 < x < 2 π e confirme se seus resultados estão de acordo com o gráfico gerado por um recurso computacional.

f x = 3 x + 2 sen ⁡ x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 3 + 2 cos ⁡ x

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

3 + 2 cos ⁡ x = 0 → cos ⁡ x = - 3 2

Temos como pontos críticos então:

x = 5 π 6

x = 7 π 6

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 0 + 2 ⋅ - sen ⁡ x = - 2 sen ⁡ x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' 5 π 6 = - 2 sen ⁡ 5 π 6 = - 2 ⋅ 1 2 = - 1 < 0

f ' ' 7 π 6 = - 2 sen ⁡ 7 π 6 = - 2 ⋅ - 1 2 = 1 > 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = 5 π 6 é um máximo relativo e x = 7 π 6 é um mínimo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = 5 π 6 como um máximo relativo e x = 7 π 6 como um mínimo relativo.

Resposta

x = 5 π 6 é um máximo relativo e x = 7 π 6 é um mínimo relativo

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