Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 21
Encontre os valores máximo e mínimo locais de usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
Passo 1
Meus queridos, nessa questão temos que encontrar os máximos e mínimos locais de que é:
O primeiro passo, independente do Teste que formos usar éderivar a função uma vez, igualar a zero e encontrar os pontos que isso acontece:
Esses são os chamados pontos críticos, para saber se eles são de máximo ou mínimo nós vamos usar um dos seguintes testes.
No teste da primeira derivada, nós vamos verificar o comportamento da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Se a derivada era negativa antes e depois é positiva, isso significa que a função decrescia e após o ponto passou a crescer, ou seja, esse é um ponto de mínimo local.Agora se a derivada era positiva e depois é negativa, isso significa um ponto de máximo local.
Outro teste que podemos fazer é o da segunda derivada.
A segunda derivada dá pra gente se a concavidade é para cima () ou para baixo ().
Se a concavidade for para cima, o ponto é de mínimo local, se a concavidade for para baixo, aí o ponto é de máximo local. Bora lá?
Passo 2
Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda:
Derivando vamos ter uma regra da cadeia para o termo .
Lembrando que a derivada da raíz é:
Portanto,
Agora voltando para a nossa derivada o que temos é:
Para encontrar a segunda derivada devemos derivar a derivada, ficamos com:
Vamos precisar da derivada de :
Portanto
Substituindo na segunda derivada, temos:
Portanto,
Passo 3
Os pontos críticos são aqueles em que a primeira derivada vale zero.
ou
Aqui temos que tomar um pequeno cuidado matemático.
A função é dada por:
E como não podemos ter raíz de número negativo, precisa ser menor que .
Portanto, a resposta não é válida, e o único ponto crítico é:
Passo 4
Teste da Derivada Primeira:
Precisamos analisar o sinal da derivada primeira para :
E
Logo, é crescente no intervalo e decrescente no intervalo , então o ponto é máximo local, pois cresce até ele e decresce a partir dele.
Passo 5
Teste da Derivada Segunda:
Se o ponto crítico é e
Temos aqui uma segunda derivada negativa, o que representa concavidade para baixo, logo, um ponto crítico de máximo local.
Então é máximo local pois e .
Por fim ele pergunta qual o método que você prefere. Responde aí, você prefere primeira ou segunda derivada?
Resposta
é máximo local