Se y = x³ + 2x e dx/dt = 5 encontre dy / dt quando x = 2.

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão deu pra gente a função

y = x 3 + 2 x  

E disse que

d x d t = 5

E pediu pra gente encontrar d y d t quando x = 2 .

Então perceba o seguinte: x está em função de t , certo?

E por que sabemos disso? Porque há uma variável de x em relação a t , d x d t .

E se x está em função de t , consequentemente, y também estará, concordam?

E como temos uma função dentro da outra, e queremos achar d y d t ,   podemos usar a Regra da Cadeia.

Faremos isso da seguinte forma:

d y d t = d y d x ⋅ d x d t

Então vem comigo que te mostro como encaixar todas as informações aqui.

Passo 2

Sabemos que:

d x d t = 5

Derivando y   em função de x :

d y d x = 3 x ² + 2

Perfeito.

Agora substituindo em

d y d t = d y d x   ̇ d x d t

Ficamos com:

d y d t = 3 x 2 + 2 ⋅ 5 = 15 x ² + 10

Passo 3

Agora que já temos a derivada de y em função de t em mãos, basta fazermos a substituição. Assim:

Como queremos saber a derivada quando x = 2 ,   substituindo teremos:

d y d t = 15.2 ² + 10 = 70

E prontinho. Temos nossa resposta.

Resposta

d y d t = 70

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