Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de no conjunto .

,

é um quadrilátero com vértices:

, , e

Bom galera, vamos começar calculando os pontos críticos que são encontrando em:

Pegando as derivadas parciais são:

Encontrando suas raízes:

E agora iremos encontrar :

E suas raízes:

Com isso, temos os pontos críticos:

, , e

Vamos olhar quais pontos estão dentro da região :

São os pontos:

e

Beleza, vamos calcular a função nesses pontos:

E para o segundo ponto:

Agora vamos testar também as fronteiras do nosso intervalo. A primeira fronteira é dada pela equação e intervalo:

Nesse ponto da fronteira temos que:

E

E no ponto crítico nessa fronteira:

Calculando a derivada:

Calculando o zero:

Então desde que então:

E

Agora pra o intervalo , na fronteira :

Nesse ponto da fronteira:

E no outro extremo:

Agora iremos calcular o ponto crítico:

Calculando a derivada:

Calculando o ponto crítico:

E agora vamos encontrar o valor da função no ponto crítico que encontramos:

E

Agora na fronteira , no intervalo , teremos:

Nos pontos extremos da fronteira:

E

E iremos encontrar os pontos críticos:

Calculando o ponto crítico:

Temos então que a raiz é:

E agora a gente encontra o valor da função nesses pontos críticos:

E

Vamos para o último valor da fronteira, no intervalo :

Vamos encontrar apenas os pontos críticos pois na fronteira desse intervalo a gente já calculou:

Calculando a derivada:

E então aqui não temos candidatos para máximos ou mínimos.

Então, por todos os valores que encontramos, temos que:

Minimo:

Máximo: