Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 32

Encontre os valores de para os quais a série é convergente.

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de que tornam a série convergente?

Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral da nossa série com uma função da seguinte forma:

Para isso, vamos calcular a seguinte integral:

Se a integral convergir, a série converge. Se a integral divergir, a série diverge.

Mas antes de tudo, temos que perceber que a coisa fica muito diferente se for igual a 1 ou assumir qualquer outro valor, então nós vamos dividir nosso estudo em dois casos:

E vamos também perceber que a integral é imprópria (seu limite superior é infinito). Então temos que trocar o limite superior por uma variável finita e depois fazer o limite dessa variável tendendo ao infinito :

Agora vamos começar!

Passo 2

Vamos começar com o caso em que :

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, pois o integrando é um produto de funções. E de acordo com a nossa regrinha LIATE, os logaritmos são a primeira opção escolhida pra variável . Portanto:

Então:

E aplicando a integração por partes:

Achamos a mesma integral no lado direito. Então vamos mandar ela pro lado esquerdo:

Aplicando os limites de integração, como :

Agora antes de ir pro limite, vamos calcular o segundo caso!

Passo 3

Agora vamos pro caso em que :

vamos aplicar partes novamente com as mesmas substituições:

Mas aqui, vamos ter:

Assim teremos:

Agora resolvendo essa segunda integral que se formou:

Retornando então pra integral anterior, vamos finalizar a integração por partes:

Aplicando os limites de integração, como :

Ufaaa! Que conta terrível! CALMA! Está acabando!

Passo 4

Achamos os seguintes resultados:

E como nossa integral inicialmente era imprópria, temos que calcular esses dois limites aí:

Mas vamos lembrar primeiro do que estamos buscando aqui! A gente quer os valores de pra que a integral seja convergente, ou seja, queremos que nosso resultado exista e seja um valor finito.

Vamos ver em cada caso como fazemos isso. Pro primeiro caso:

Divergiu! Então não é um valor que torna a série convergente.

Agora pra não ficar grande demais, vamos passar pro próximo passo pra avaliar o caso em que .

Passo 5

Quando :

Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos testar apenas o caso em que (pois nesse caso chegamos numa inconsistência do tipo em que devemos manipular algebricamente para aplicarmos L’Hopital). Vamos pegar esse caso então!