Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 32
Encontre os valores de para os quais a série é convergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de que tornam a série convergente?
Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral da nossa série com uma função da seguinte forma:
Para isso, vamos calcular a seguinte integral:
Se a integral convergir, a série converge. Se a integral divergir, a série diverge.
Mas antes de tudo, temos que perceber que a coisa fica muito diferente se for igual a 1 ou assumir qualquer outro valor, então nós vamos dividir nosso estudo em dois casos:
E vamos também perceber que a integral é imprópria (seu limite superior é infinito). Então temos que trocar o limite superior por uma variável finita e depois fazer o limite dessa variável tendendo ao infinito :
Agora vamos começar!
Passo 2
Vamos começar com o caso em que :
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, pois o integrando é um produto de funções. E de acordo com a nossa regrinha LIATE, os logaritmos são a primeira opção escolhida pra variável . Portanto:
Então:
E aplicando a integração por partes:
Achamos a mesma integral no lado direito. Então vamos mandar ela pro lado esquerdo:
Aplicando os limites de integração, como :
Agora antes de ir pro limite, vamos calcular o segundo caso!
Passo 3
Agora vamos pro caso em que :
vamos aplicar partes novamente com as mesmas substituições:
Mas aqui, vamos ter:
Assim teremos:
Agora resolvendo essa segunda integral que se formou:
Retornando então pra integral anterior, vamos finalizar a integração por partes:
Aplicando os limites de integração, como :
Ufaaa! Que conta terrível! CALMA! Está acabando!
Passo 4
Achamos os seguintes resultados:
E como nossa integral inicialmente era imprópria, temos que calcular esses dois limites aí:
Mas vamos lembrar primeiro do que estamos buscando aqui! A gente quer os valores de pra que a integral seja convergente, ou seja, queremos que nosso resultado exista e seja um valor finito.
Vamos ver em cada caso como fazemos isso. Pro primeiro caso:
Divergiu! Então não é um valor que torna a série convergente.
Agora pra não ficar grande demais, vamos passar pro próximo passo pra avaliar o caso em que .
Passo 5
Quando :
Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos testar apenas o caso em que (pois nesse caso chegamos numa inconsistência do tipo em que devemos manipular algebricamente para aplicarmos L’Hopital). Vamos pegar esse caso então!
Vamos focar só no limite e reescrevê-lo da seguinte forma:
Aplicando L’Hopital:
Ufa!!! Quantas manipulações algébricas! Mas agora foi! 
Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série: