Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 4
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem?
A questão pede para encontrarmos através do teste da integral se nossa série:
Converge ou diverge.
O Teste da Integral consiste em calcular a integral imprópria:
Onde:
No nosso caso, teremos:
Se essa integral convergir, nossa série também converge. Caso contrário, nossa série diverge.
Lembrando que para aplicar o teste da integral nossa função precisa cumprir alguns requisitos: deve ser contínua, positiva e decrescente no intervalo da série .
Bora lá?
Passo 2
Para começar, que tal verificarmos se essa série cumpre os requisitos para aplicarmos nosso teste? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, pois não temos restrições para os valores que ela pode assumir no intervalo .
A função é positiva pois os valores de nesse intervalo são positivos e nossa função não retornará valores negativos.
Olhando para a função, vemos que será decrescente pois conforme vai crescendo, vai ficando cada vez maior que 1 e os valores da função ficam cada vez menores.
Logo, podemos usar o teste da Integral para definir a convergência!
Passo 3
Vamos escrever a integral imprópria:
Resolvendo a integral temos:
Aplicando os limites de integração e :
Agora calculando de fato o limite. Sabemos que quando tem expoente maior que zero, quando , também vai tender ao infinito. Então:
Ou seja:
Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série é divergente!
Resposta
A série é divergente!