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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 9

Resolva as equações diferenciais

(d p)/(d t) = t^2 p - p + t^2 - 1

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

(d p)/(d t) = t^2 p - p + t^2 - 1

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for p vai para um lado, tudo que for t vai para o outro.

(d p)/(d t) = t^2 p - p + t^2 - 1

(d p)/(d t) = t^2 (p + 1) - (p + 1)

(d p)/(d t) = (p + 1) (t^2 - 1)

(d p)/(p + 1) = (t^2 - 1) d t

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int (d p)/(p + 1) = int (t^2 - 1) d t

ln (p + 1) = (t^3)/(3) - t

Podemos manipular um pouco essa equação pra ela ficar mais organizada

p + 1 = e^((t^3)/(3) - t)

p = e^((t^3)/(3) - t) - 1 + C

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se somar -1 não fará a menor diferença, então podemos dizer que :

p = e^((t^3)/(3) - t) + C

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

p = e^((t^3)/(3) - t) + C

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