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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 24

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ k = 1 ∞ k e - k 2

Passo 1

Fala aí, tudo certinho? Queremos determinar nessa questão se a série abaixo converge ou diverge, certo?

∑ k = 1 ∞ k e - k 2

Como podemos fazer isso?

Para isso, nós podemos fazer uso do Teste da Integral. O teste da integral é uma técnica utilizada para determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. Especificamente, é aplicável em séries onde termos são funções decrescentes e não negativas. Vamos relembrar o que esse teste diz?

Vamos supor que a nossa função f é contínua, positiva, decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) e que a n = f ( n ) . Então, a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é convergente;
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = x e - x 2 = x e x 2

Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 1 ∞ x e x 2 d x

Beleza?! Agora vamos pras continhas!

Passo 2

A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x e x 2 d x

Show de bola?! Agora vamos resolver a integral!

Passo 3

Resolvendo a integral temos:

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x e x 2 d x

Vamos resolver essa integral por substituição de variáveis!

Seja

u = e - x 2 → d u = - 2 x e - x 2 d x → - d u 2 = x e - x 2 d x

Assim,

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ - 1 2 d u

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 u 2

Passo 4

Voltando para a variável original, temos:

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 e - x 2 1 t

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 e - t 2 + 1 2 e - 1

∫ 1 ∞ x e x 2 d x = 1 2 e

Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ k = 1 ∞ k e - k 2 é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(ln n))
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) n^2 e^(- n^3)