Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 23
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, galerinha? Tudo tranquilo?
Aqui vamos usar o Teste da Integral para analisar a convergência ou divergência dessa série. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples!
Vamos supor que a nossa função é contínua, positiva, decrescente no intervalo e que . Então, a série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:
- Se for convergente, então é convergente;
- Se for divergente, então é divergente.
Mas lembra que não é para qualquer série que podemos aplicar o Teste da Integral. Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo , não é?
Então, poderemos usar o teste da Integral para definir a convergência sem problemas!
Só para não esquecermos, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Vamos lá, então, passo a passo!
Passo 2
A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:
Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!
Passo 3
Resolvendo a integral temos:
Vamos resolver essa integral por partes!
Relembrando, a integral por partes segue o padrão:
A ideia é escolher e de forma que a integral do segundo termo do lado direito seja mais fácil de calcular do que a integral original.
Seja:
E seja:
.
Reescrevendo a integral, temos:
Resolvendo a segunda integral:
Aplicando os limites de integração, chegamos em:
Passo 4
Agora que já temos o valor da integral, podemos continuar aplicando o limite. Voltando para o limite, temos:
Aplicando os limites de integração e fazendo as somas, temos:
Mas perceba que esse limite aqui:
fica com uma indeterminação do tipo Aplicando L’Hospital somente nesse limite, temos:
Agora nossos dois limites vão para zero, conforme nosso denominador cresce indefinidamente sobrando para nós somente a constante .
Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série é convergente!
Resposta
A série é convergente!