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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 6

Encontre o vértice, o foco, e a diretriz da parábola e esboce o seu gráfico.

6.

( y - 2 ) 2 = 2 x + 1

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte equação que descreve uma parábola:

( y - 2 ) 2 = 2 x + 1

Queremos encontrar o vértice, o foco e a diretriz dessa parábola... mas o que são eles?

Bom... seja a seguinte parábola:

  • O ponto F é chamado de foco e determina essa figura;
  • A reta r é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
  • O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.

Para encontrarmos o foco e a diretriz, temos que encontrar o valor de p na seguinte equação padrão da parábola:

y 2 = 4 p x

E, para encontrarmos o vértice, basta reorganizar a equação dada e ver os números que estão somando ou subtraindo os valores de x e y .

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar o valor de p organizando a equação dada no enunciado:

( y - 2 ) 2 = 2 x + 1

Colocando o 2 em evidência:

( y - 2 ) 2 = 2 x + 1 2

Pela equação padrão da parábola, temos:

y 2 = 4 p x

Comparamos a parte da direita com a equação acima, p será:

4 p = 2

p = 1 2

Passo 3

Portanto, o foco que é o ponto p ,   0 ,   será

1 2 - 1 2 ,   0 + 2 = 0 ,   2

E a diretriz pode ser obtida pela equação:

x = - p - 1 2

x = - 1

Passo 4

Para obtermos o vértice, precisamos olhar para a equação do passo 2 que obtemos:

( y - 2 ) 2 = 2 x + 1 2

Assim, os termos que estão subtraindo a x e a y (caso seja uma soma, nós invertemos o sinal) na equação serão as coordenadas do ponto.

Então comparando, podemos concluir que o vértice será - 1 2 , 2 .

Passo 5

O gráfico da parábola então será:

Resposta

Foco: 0 ,   2

Diretriz: x = - 1

Vértice: - 1 2 , 2

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