Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 15
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma elipse:
Queremos calcular os vértices e os focos dessa elipse. Mas o que são eles?
Para responder isso, vamos analisar a figura abaixo de uma elipse:
- é o centro da elipse;
- e são seus focos;
- e são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
- e são as extremidades do eixo vertical (vértices);
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e ;
- é a distância entre e .
Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação:
Onde e são constantes e mostradas na figura anterior.
Aplicando essa equação e analisando a nossa definição da elipse, a gente encontra os vértices e os focos. Agora bora lá!! 😉
Ah... lembre-se que os vértices estão sempre em cima de um dos eixos de coordenadas, viu?
Passo 2
Vamos primeiro organizar a equação para que ela fique na forma padrão.
Para isso, precisaremos somar em ambos os lados da equação:
Colocamos o de alguns termos em evidência:
Completamos quadrado:
E por fim, dividimos por ambos os lados:
Passo 3
Calculamos então o valor de e da nossa equação comparando com a fórmula mostrada no passo 1.
Assim, podemos inferir que:
E
Com isso, percebemos que os vértices da horizontal são:
e
e
E os vértices da vertical:
e
Logo, percebemos que trata-se de uma elipse com eixo maior na vertical.
Assim, marcando esses pontos e traçando a elipse, temos:
Passo 4
Com isso, podemos calcular os focos :
Como a elipse está transladada para direita por , os focos serão:
e
e
Resposta
Vértices:
e
e
Focos:
e
