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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 41

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por x = y 2 e x = y gira em torno da reta y = - 1 .

Passo 1

Bom galera, nosso volume é dado pela rotação da região sombreada em torno de y = - 1 :

Logo, nossa região é:

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = π ∫ 0 1 1 + x 2 - 1 + x 2   d x

= π ∫ 0 1 1 + 2 x + x - 1 + 2 x + x 2   d x

= π ∫ 0 1 ( 2 x - x - x 2 )   d x

Passo 3

Por fim, resolvemos a integral:

V = π ∫ 0 1 ( 2 x - x - x 2 )   d x

= π 4 3 x 3 / 2 - x 2 2 - x 3 3 0 1

= π 4 3 - 1 2 - 1 3 = 3 π 6 = π 2

Resposta

π 2

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