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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 43

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y = x 2 e y = x 3 for girada em torno da reta x = 1 .

Passo 1

Bom galera, nosso volume é dado pela rotação da região secção da função em torno de x = 1 :

A gente pode chamar nosso raio externo de:

1 - y

O raio interno:

1 - y 1 / 3

E nossa região é:

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = π ∫ 0 1 1 - y 2 - 1 - y 1 3 2   d y

= π ∫ 0 1 1 - 2 y + y - 1 - 2 y 1 3 + y 2 3   d y

= π ∫ 0 1 - 2 y 1 2 + y + 2 y 1 3 - y 2 3   d y

Passo 3

Por fim, resolvemos a integral:

V = π ∫ 0 1 - 2 y 1 2 + y + 2 y 1 3 - y 2 3   d y

= π - 4 3 y 3 2 + y 2 2 + 3 2 y 4 3 - 3 5 y 2 3 0 1

= π - 4 3 + 1 2 + 3 2 - 3 5 - 0 = π 15

Resposta

π 15

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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região do Exercício 43 for girada em torno da reta y = - 1 .
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