Encontredy / dx usando derivação logarítmica:

y = (sen(x) \* cos(x) \* tg^3(x)) / raiz(x)

Passo 1

Nem sempre a solução da diferenciação de uma derivada é trivial, mas, se aplicarmos o logaritmo natural em ambos os lados e usarmos suas propriedades, podemos derivar uma função complexa utilizando as propriedades de logaritmo.

Vamos analisar a função dada:

y = s e n x . cos ⁡ x . t g 3 ( x ) x

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ s e n x . cos ⁡ x . t g 3 ( x ) x

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln ⁡ y = ln ⁡ s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x + l n ⁡ ( t g 3 ( x ) ) - l n x

ln ⁡ y = ln ⁡ s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x + 3 . l n ⁡ ( t g ( x ) ) - l n x

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

ln ⁡ y = ln ⁡ s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x + 3 . l n ⁡ ( t g ( x ) ) - l n x

d ln ⁡ y d x = d d x ln ⁡ s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x + 3 . l n ⁡ ( t g ( x ) ) - l n x

Derivando temos:

1 y . d y d x =   c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) + - s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) + 3 sec 2 ⁡ ( x ) t g ( x ) - 1 2 x

Para eliminar o termo 1 y que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

d y d x = c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) + - s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) + 3 sec 2 ⁡ ( x ) t g ( x ) - 1 2 x . s e n x . cos ⁡ x . t g 3 ( x ) x

Resposta

d y d x = c o s ⁡ ( x ) s e n ( x ) + - s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) + 3 sec 2 ⁡ ( x ) t g ( x ) - 1 2 x . s e n x . cos ⁡ x . t g 3 ( x ) x

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