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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 38

Encontre (d y)/(d x) usando derivação logarítmica:

y = (s e n (x) . cos (x) . t g^3 ( x ))/(sqrt(x))

Passo 1

Nem sempre a solução da diferenciação de uma derivada é trivial, mas, se aplicarmos o logaritmo natural em ambos os lados e usarmos suas propriedades, podemos derivar uma função complexa utilizando as propriedades de logaritmo.

Vamos analisar a função dada:

y = (s e n (x) . cos (x) . t g^3 ( x ))/(sqrt(x))

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ( y ) = l n ((s e n (x) . cos (x) . t g^3 ( x ))/(sqrt(x)))

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln (y) = ln (s e n (x)) + ln (cos (x)) + l n ( t g^3 ( x ) ) - l n (sqrt(x))

ln (y) = ln (s e n (x)) + ln (cos (x)) + 3 . l n ( t g ( x ) ) - l n (sqrt(x))

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

ln (y) = ln (s e n (x)) + ln (cos (x)) + 3 . l n ( t g ( x ) ) - l n (sqrt(x))

(d (ln (y)))/(d x) = (d)/(d x) [ln (s e n (x)) + ln (cos (x)) + 3 . l n ( t g ( x ) ) - l n (sqrt(x))]

Derivando temos:

(1)/(y) . (d y)/(d x) = (c o s ( x ))/(s e n ( x )) + (- s e n ( x ))/(c o s ( x )) + (3 sec^2 ( x ))/(t g ( x )) - (1)/(2 x)

Para eliminar o termo (1)/(y) que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

(d y)/(d x) = ((c o s ( x ))/(s e n ( x )) + (- s e n ( x ))/(c o s ( x )) + (3 sec^2 ( x ))/(t g ( x )) - (1)/(2 x)) . [(s e n (x) . cos (x) . t g^3 ( x ))/(sqrt(x))]

Resposta

(d y)/(d x) = ((c o s ( x ))/(s e n ( x )) + (- s e n ( x ))/(c o s ( x )) + (3 sec^2 ( x ))/(t g ( x )) - (1)/(2 x)) . [(s e n (x) . cos (x) . t g^3 ( x ))/(sqrt(x))]

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