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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 7

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

A equação dada tem uma solução real. Aproxime-a pela Método de Newton.

x 5 + x 4 - 5 = 0

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 5 + x 4 - 5 ' = 5 x 5 - 1 + 4 x 4 - 1 - 0 = 5 x 4 + 4 x 3

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 5 + x n 4 - 5 5 x n 4 + 4 x n 3

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 5 + x 1 4 - 5 5 x 1 4 + 4 x 1 3 = 1 - 1 5 + 1 4 - 5 5 ⋅ 1 4 + 4 ⋅ 1 3 = 1,333333333

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 5 + x 2 4 - 5 5 x 2 4 + 4 x 2 3 =

= 1,333333333 - 1,333333333 5 + 1,333333333 4 - 5 5 ⋅ 1,333333333 4 + 4 ⋅ 1,333333333 3 ≈ 1,2394205729

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 5 + x 3 4 - 5 5 x 3 4 + 4 x 3 3 =

= 1,2394205729 - 1,2394205729 5 + 1,2394205729 4 - 5 5 ⋅ 1,2394205729 4 + 4 ⋅ 1,2394205729 3 ≈ 1,2 247626891

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 5 + x 4 4 - 5 5 x 4 4 + 4 x 4 3 =

= 1,2247626891 - 1,2247626891 5 + 1,2247626891 4 - 5 5 ⋅ 1,2247626891 4 + 4 ⋅ 1,2247626891 3 ≈ 1,2244397036

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 5 + x 5 4 - 5 5 x 5 4 + 4 x 5 3 =

= 1,2244397036 - 1,2244397036 5 + 1,2244397036 4 - 5 5 ⋅ 1,2244397036 4 + 4 ⋅ 1,2244397036 3 ≈ 1,22 44395499

Vamos achar x 7 :

x 6 + 1 = x 7 = x 6 - x 6 5 + x 6 4 - 5 5 x 6 4 + 4 x 6 3 =

= 1,2244395499 - 1,2244395499 5 + 1,2244395499 4 - 5 5 ⋅ 1,2244395499 4 + 4 ⋅ 1,2244395499 3 ≈ 1,2244395499

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,2244395499 .

Resposta

A raiz é 1,2244395499 .

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