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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 36

Encontre (d y)/(d x) usando derivação logarítmica:

y = root(5)((x - 1)/(x + 1))

Passo 1

A diferenciação da função dada não é tão simples de resolver diretamente, mas, se aplicarmos o logaritmo natural em ambos os lados e usarmos suas propriedades, podemos derivar uma função complexa utilizando as propriedades de logaritmo.

Vamos analisar a função dada:

y = root(5)((x - 1)/(x + 1))

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ( y ) = l n [root(5)((x - 1)/(x + 1))]

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln (y) = ln (root(5)(x - 1)) - l n (root(5)(x + 1))

ln (y) = (1)/(5) ln (x - 1) - (1)/(5) l n ( x + 1 )

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

(d (ln (y)))/(d x) = (d)/(d x) [(1)/(5) ln (x - 1) - (1)/(5) l n ( x + 1 )]

Derivando temos:

(1)/(y) . (d y)/(d x) = (1)/(5 ( x - 1 )) - (1)/(5 ( x + 1 ))

Para eliminar o termo (1)/(y) que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

(d y)/(d x) = (2)/(5 (x - 1) . ( x + 1 )) . root(5)((x - 1)/(x + 1))

Resposta

(d y)/(d x) = (2)/(5 (x - 1) . ( x + 1 )) . root(5)((x - 1)/(x + 1))

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