Encontredy / dx usando derivação logarítmica:

y = quinta_raiz((x - 1) / (x + 1))

Passo 1

A diferenciação da função dada não é tão simples de resolver diretamente, mas, se aplicarmos o logaritmo natural em ambos os lados e usarmos suas propriedades, podemos derivar uma função complexa utilizando as propriedades de logaritmo.

Vamos analisar a função dada:

y = x - 1 x + 1 5

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ⁡ ( y ) = l n x - 1 x + 1 5

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln ⁡ y = ln ⁡ x - 1 5 - l n x + 1 5

ln ⁡ y = 1 5 ln ⁡ x - 1 - 1 5 l n ⁡ ( x + 1 )

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

d ln ⁡ y d x = d d x 1 5 ln ⁡ x - 1 - 1 5 l n ⁡ ( x + 1 )

Derivando temos:

1 y . d y d x =   1 5 ( x - 1 ) - 1 5 ( x + 1 )

Para eliminar o termo 1 y que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

d y d x =   2 5 x - 1 . ( x + 1 ) .   x - 1 x + 1 5

Resposta

d y d x =   2 5 x - 1 . ( x + 1 ) .   x - 1 x + 1 5

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