Encontredy / dx usando derivação logarítmica:

y = ((x^2 - 8)^(1/3) \* raiz(x^3 + 1)) / (x^6 - 7x + 5)

Passo 1

Analisando a função dada, podemos constatar que ela não é tão simples para ser solucionada analiticamente. Entretanto, a diferenciação logarítmica facilita o processo de derivação e permite encontrar a solução para a derivada utilizando propriedades de logaritmo .

Vamos analisar a função dada:

y = ( x 2 - 8 ) 1 / 3 . x 3 + 1 x 6 - 7 x + 5

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ⁡ ( y ) = l n ( x 2 - 8 ) 1 / 3 . x 3 + 1 x 6 - 7 x + 5

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 - 8 1 3 . x 3 + 1 - l n ⁡ [ x 6 - 7 x + 5 ]

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 - 8 1 3 + ln ⁡ x 3 + 1 + - l n ⁡ [ x 6 - 7 x + 5 ]

ln ⁡ y = 1 3 ln ⁡ x 2 - 8 + 1 2 ln ⁡ x 3 + 1 - l n ⁡ [ x 6 - 7 x + 5 ]

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

d ln ⁡ y d x = d d x 1 3 ln ⁡ x 2 - 8 + 1 2 ln ⁡ x 3 + 1 - l n ⁡ [ x 6 - 7 x + 5 ]

Derivando temos:

1 y . d y d x =   2 x 3 ( x 2 - 8 ) + 3 x 2 2 ( x 3 + 1 ) - 6 x 5 - 7 ( x 6 - 7 x + 5 )

Para eliminar o termo 1 y que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

d y d x =   2 x 3 ( x 2 - 8 ) + 3 x 2 2 ( x 3 + 1 ) - 6 x 5 - 7 ( x 6 - 7 x + 5 ) . ( x 2 - 8 ) 1 / 3 . x 3 + 1 x 6 - 7 x + 5

Resposta

d y d x =   2 x 3 ( x 2 - 8 ) + 3 x 2 2 ( x 3 + 1 ) - 6 x 5 - 7 ( x 6 - 7 x + 5 ) . ( x 2 - 8 ) 1 / 3 . x 3 + 1 x 6 - 7 x + 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados