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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 37

Encontre (d y)/(d x) usando derivação logarítmica:

y = (( x^2 - 8 )^(1 // 3) . sqrt(x^3 + 1))/(x^6 - 7 x + 5)

Passo 1

Analisando a função dada, podemos constatar que ela não é tão simples para ser solucionada analiticamente. Entretanto, a diferenciação logarítmica facilita o processo de derivação e permite encontrar a solução para a derivada utilizando propriedades de logaritmo .

Vamos analisar a função dada:

y = (( x^2 - 8 )^(1 // 3) . sqrt(x^3 + 1))/(x^6 - 7 x + 5)

Agora, aplicando logaritmo na função:

l n ( y ) = l n [(( x^2 - 8 )^(1 // 3) . sqrt(x^3 + 1))/(x^6 - 7 x + 5)]

Com ela, podemos usar as seguintes propriedades de logaritmo:

ln (y) = ln [(x^2 - 8)^((1)/(3)) . sqrt(x^3 + 1)] - l n [ x^6 - 7 x + 5 ]

ln (y) = ln (x^2 - 8)^((1)/(3)) + ln (sqrt(x^3 + 1)) + - l n [ x^6 - 7 x + 5 ]

ln (y) = (1)/(3) ln (x^2 - 8) + (1)/(2) ln (x^3 + 1) - l n [ x^6 - 7 x + 5 ]

Agora, podemos diferenciar dos dois lados. Isso significa que iremos derivar todos os termos antes e depois da igualdade!!!

Passo 2

Aqui, aplicaremos a derivada em cada termo da igualdade.

(d (ln (y)))/(d x) = (d)/(d x) [(1)/(3) ln (x^2 - 8) + (1)/(2) ln (x^3 + 1) - l n [ x^6 - 7 x + 5 ]]

Derivando temos:

(1)/(y) . (d y)/(d x) = (2 x)/(3 ( x^2 - 8 )) + (3 x^2)/(2 ( x^3 + 1 )) - (6 x^5 - 7)/(( x^6 - 7 x + 5 ))

Para eliminar o termo (1)/(y) que aparece na diferenciação, multiplicamos ambos os lados pela função y :

(d y)/(d x) = [(2 x)/(3 ( x^2 - 8 )) + (3 x^2)/(2 ( x^3 + 1 )) - (6 x^5 - 7)/(( x^6 - 7 x + 5 ))] . [(( x^2 - 8 )^(1 // 3) . sqrt(x^3 + 1))/(x^6 - 7 x + 5)]

Resposta

(d y)/(d x) = [(2 x)/(3 ( x^2 - 8 )) + (3 x^2)/(2 ( x^3 + 1 )) - (6 x^5 - 7)/(( x^6 - 7 x + 5 ))] . [(( x^2 - 8 )^(1 // 3) . sqrt(x^3 + 1))/(x^6 - 7 x + 5)]

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