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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 19

Resolva o problema de valor inicial

L d i d t + R i = δ t ,       i 0 = 0

Em que L e R são constantes. A solução satisfaz a condição em t = 0 ?

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

L d i d t + R i = δ t ,       i 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ok?

Aí depois, vamos verificar que na real o y ( t ) não vai satisfazer y ' 0 = 0 HAHAHAH estranho né?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

L d i d t + R i = δ t

L s . I s - i 0 + R . I ( s ) = 1

Sabemos que i 0 = 0 :

L s . I s - 0 + R . I ( s ) = 1

I s . L s + R = 1

I s = 1 L s + R

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

I s = 1 L s + R

Podemos manipular escrevendo assim:

I s = 1 L L L s + R

I s = 1 L 1 s + R L

Então temos:

i t = 1 L . e - R L t

Showww, agora vamos verificar que isso não cumpre com i 0 = 0

Passo 4

Temos

i t = 1 L . e - R L t

E aí temos:

i 0 = 1 L . e - R L . 0 = 1 L

Opa, então embora tenhamos utilizado i 0 = 0 nas condições iniciais, isso não é verdadeiro para a “solução” :O

Então ta provadooo

Resposta

i t = 1 L . e - R L t

Não satisfaz i 0 = 0

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