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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 27a

Para a função densidade de probabilidade normal padrão determine a probabilidade de que uma escolha ao acaso de x esteja no intervalo [ 0 ,   1 ] . Aproxime o valor da integral definida usando

  1. A regra do trapézio, com n = 4 .

Passo 1

A função densidade de probabilidade normal padrão é dada a seguir:

f x = 1 2 π e - 1 2 x 2

Para encontrarmos a probabilidade de que uma escolha ao acaso estaja no intervalo [ 0 ,   1 ] devemos integrar a função densidade de probabilidade no intervalo [ 0 ,   1 ] . Queremos então achar o valor de:

∫ 0 1 1 2 π e - 1 2 x 2 d x

Passo 2

A regra dos trapézios com n = 4 aproxima uma integral em um intervalo [ a ,   b ] pela seguinte fórmula:

∫ a = x 0 b = x 4 f x d x = h 2 ( f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + 2 f x 3 + f x 4 )

Sendo h = b - a 4 e x i = x 0 + i ⋅ h . Como a = x 0 = 0 e b = x n = 1 , o valor de h é:

h = 1 - 0 4 = 0,25

Os valores de x i serão então:

x 0 = 0

x 1 = 0 + 1 * 0,25 = 0,25

x 2 = 0 + 2 * 0,25 = 0,5

x 3 = 0 + 3 * 0,25 = 0,75

x 4 = 1

A integral aproximada é então:

0,25 2 f 0 + 2 f 0,25 + 2 f 0,5 + 2 f 0,75 + f 1

= 0,125 2 π e 0 + 2 e - 0,25 2 2 + 2 e - 0,5 2 2 + 2 e - 0,75 2 2 + e - 1 2 = 0,3401

Resposta

∫ 0 1 1 2 π e - 1 2 x 2 d x ≈ 0,3401

p = 34,01 %

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