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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 28b

Para a função densidade de probabilidade normal padrão, determine a probabilidade de que uma escolha ao acaso de x esteja no intervalo [ - 3 ,   3 ] . Aproxime o valor da integral definida usando

  1. A regra de Simpson, com n = 6 .

Passo 1

A função densidade de probabilidade normal padrão é dada a seguir:

f x = 1 2 π e - 1 2 x 2

Para encontrarmos a probabilidade de que uma escolha ao acaso estaja no intervalo [ - 3 ,   3 ] devemos integrar a função densidade de probabilidade no intervalo [ - 3 ,   3 ] . Queremos então achar o valor de:

∫ - 3 3 1 2 π e - 1 2 x 2 d x

Passo 2

A regra de Simpson com n = 6 aproxima uma integral em um intervalo [ a ,   b ] pela seguinte fórmula:

∫ a = x 0 b = x 6 f x d x = h 3 ( f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + f x 6 )

Sendo h = b - a 6 e x i = x 0 + i ⋅ h . Como a = x 0 = - 3 e b = x n = 3 , o valor de h é:

h = 3 - ( - 3 ) 6 = 1

Os valores de x i serão então x i = - 3 + i :

x 0 = - 3 ; x 1 = - 2 ; x 2 = - 1 ; x 3 = 0 ; x 4 = 1 ; x 5 = 2 ; x 6 = 3

A integral aproximada é então:

1 3 f - 3 + 4 f - 2 + 2 f - 1 + 4 f 0 + 2 f 1 + 4 f 2 + f 3

= 1 3 2 π ( e - - 3 2 2 + 4 e - - 2 2 2 + 2 e - - 1 2 2 + 4 e 0 + 2 e - 1 2 2 + 4 e - 2 2 2 + e - 3 2 2 ) = 1,0015

Como o valor deu maior que 1, podemos notar que esse método do cálcul de integral não é adequado para o cálclo de probabilidades perto de 100%, pois possui um erro muito grande e pode gerar valores de probabilidade absurdos.

Resposta

∫ - 3 3 1 2 π e - 1 2 x 2 d x ≈ 1,0015

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