Enunciado

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

58. d y d x = 1 - x - y x + y

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = 1 - x - y x + y

Simplificando:

d y d x = 1 - x + y x + y = 1 x + y - 1

Fazendo a seguinte substituição:

u = x + y

Teremos:

d u d x = 1 + d y d x

Isolando as variáveis:

d u d x - 1 = 1 u - 1

d u d x = 1 u

u d u = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ u d u = ∫ d x

Para ambas integrais vamos utilizar a mesma regrinha de integração, que é:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, para a integral da esquerda teremos:

∫ u d u = u 2 2 + c 1

E para a integral da direita teremos:

∫ d x = x + c 2

Ok, as integrais foram resolvidas!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

u 2 2 + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

u 2 2 = x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

x + y 2 2 = x + c 3

E esse é nosso resultado!

Resposta

x + y 2 2 = x + c 3

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