Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 3
Resolva a equação diferencial.
3 -
Passo 1
Queremos resolver a equação , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente e do outro termos com somente podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar , dessa forma:
Lembre que , então:
Passo 2
Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de e do lado direito em função de , assim:
Para calcular a integral podemos usar o método da substituição, chamando e , então ficamos com:
(Não esqueça da constante )
Passo 3
Como é sempre positivo, então podemos retirar aquele módulo do lado direito, e usando a propriedade de logaritmo podemos jogar o da frente do como expoente de , assim:
Passo 4
Agora vamos lembrar de outra propriedade dos logaritmos que nos diz que , vamos usar isso para trocar a constante C, dessa forma:
E pra provar que a tia Maria do ensino fundamental não mentiu para nós, vamos usar mais uma propriedade dos log’s, lembre que: :
Como e , podemos retirar o módulo do , pois esse produto sempre será positivo. Então:
Podemos ainda simplificar a resposta se lembrarmos que é uma constante e podemos chamá-la de outra letra qualquer, por exemplo. Sendo ficamos com:
Resposta
3.