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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 30d

30. Considere a equação

d y d x = y - 4 x x - y

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

d y d x = y x - 4 1 - y x

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = xυ(x). Expresse dy/dx em função de x, υ e dυ/dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e dυ/dx. Mostre que a equação diferencial resultante é

v + x d v d x = v - 4 1 - v  

Ou

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

d )   Agora que já temos a expressão podemos integrar ela, vamos ter que usar de sagacidade para resolver, observa só

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Vamos separar as variáveis

1 - v v ² - 4 d v = 1 x d x

Integrando as duas partes temos:

∫ 1 - v v ² - 4 d v = ∫ 1 x d x

Vamos manipular um pouquinho agora.

∫ 1 v ² - 4 d v - ∫ v v ² - 4 d v = ln ⁡ x

Vamos integrar cada item de cada vez agora

Passo 2

A integração da primeira parte:

∫ 1 v ² - 4 d v

Vamos usar de frações parciais para resolver o nosso problema

1 v ² - 4 = 1 ( v   - 2 ) ( v + 2 )

1 v ² - 4 = a v - 2 + b v + 2

  2 a + a v - 2 b + b v v ² - 4  

Sabemos que

1 v ² - 4 = 2 a + a v - 2 b + b v v ² - 4

Logo:

2 a + a v - 2 b + b v = 1

Pode ser reescrito como:

a + b . v + 2 . ( a - b ) = 1

Porém como o numerador de 1 v ² - 4 é igual a 1, podemos igualar a primeira parcela em função de v igual a zero, pois não teremos v no numerador:

a + b v = 0 → a = - b

Então a segunda parcela, vamos substituir isso que encontramos a = - b :

2 . ( a - b ) = 1

2 ( a + a ) = 1 → 4 a = 1

a = 1 4

E b fica:

b = - 1 4

Assim nossa integral fica

∫ 1 v ² - 4 d v = ∫ 1 / 4 v - 2 + - 1 / 4 v + 2 d v  

∫ 1 v ² - 4 d v → 1 4 ∫ 1 v - 2 - 1 v + 2 d v

= 1 4 ln ⁡ v - 2 - ln ⁡ v + 2

Pronto, terminamos um pedaço, agora só resta o outro.

Passo 3

Agora temos a segunda integral

∫ v v ² - 4 d v

Essa equação podemos fazer por substituição

v 2 - 4 = u

Derivando os dois lados:

2 v d v = d u

Logo:

v d v = d u 2

Dessa forma temos

∫ v v ² - 4 d v → ∫ 1 2 u d u

∫ 1 2 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Podemos voltar do nosso sistema em u → v

1 2 ln ⁡ u → 1 2 ln ⁡ ( v 2 - 4 )

Passo 4

Vamos unir agora todos os cálculos numa só equação

1 4 ln ⁡ v - 2 - ln ⁡ v + 2 - 1 2 ln ⁡ v 2 - 4 = ln ⁡ x

Já que termos todos os termos em ln podemos manipular para deixa a equação mais explicita

ln ⁡ v - 2 - ln ⁡ v + 2 - 2 ln ⁡ ( v 2 - 4 ) = 4 ln ⁡ x

ln ⁡ v - 2 v + 2 [ v 2 - 4 2 ]   = ln ⁡ x 4  

Agora sim podemos aplicar a exponencial em ambos os lados e retirar o ln

v - 2 v + 2 [ v 2 - 4 2 ]   = x 4

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

v - 2 v + 2 [ v 2 - 4 2 ]   = x 4

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